Arthur Osann wurde am 4. November 1829 als Sohn des Philologen Professor Friedrich Gotthilf Osann und dessen Gattin Friederike in Gießen geboren.
Osann studierte ab 1847 in Gießen und Bonn Rechtswissenschaften und wurde 1850 an der Gießener Universität zum Dr. jur. promoviert. 1862 erhielt er die Erlaubnis, als Advokat und Prokurator am Hofgericht Darmstadt tätig zu sein.
Bekannt wurde Arthur Osann durch sein politisches Wirken. Seit Einführung der Städteverordnung 1874 war er Stadtverordneter in Darmstadt und langjähriges Mitglied im Finanz- und Verkehrsausschuss sowie Vorsitzender des Rechtsausschusses der Stadtverordnetenversammlung. Darüber hinaus saß er von 1875 bis 1899 als Abgeordneter der Hessischen Fortschrittspartei bzw. der aus ihr hervor gegangenen Nationalliberalen Partei im Großherzoglich Hessischen Landtag. Als Sprecher und Führer der nationalliberalen Fraktion setzte Osann sich maßgeblich für die Verstaatlichung der Hessischen Ludwigsbahn und die Gründung der Hessisch-Preußischen Eisenbahngesellschaft ein. Auch setzte er sich für die Förderung des Mittelstandes und der Landwirtschaft ein. Von 1890 bis 1898 war Osann zugleich Abgeordneter der Nationalliberalen Partei im Berliner Reichstag.
Auf Osanns Initiative hin wurde Bismarck 1890 zum Ehrenbürger der Stadt Darmstadt ernannt. Anlässlich des 80. Geburtstags Bismarcks 1895 hielt er im Auftrag der Reichstagsfraktion und im Namen der nationalliberalen Delegation eine Rede auf den Jubilar. Bereits 1898 regte Osann ein Bismarck-Denkmal in Darmstadt an.
1899 wurde er zum Geheimen Justizrat sowie zum stellvertretenden Direktor der Stadtsparkasse ernannt. Das Amt als Darmstädter Stadtverordneter behielt er bis zu seinem Tod inne.
Am 30. September 1908 starb der Jurist und Parlamentarier In seiner Wahlheimat Darmstadt hält die Osannstraße die Erinnerung an den Politiker aufrecht.